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Introducción a la trigonometría - Educación Media

Hola estudiantes, el objeto de esta entrada es introducirlos al mundo de la trigonometría. Como hemos visto en clases el término Trigonometría se origina enlos términos griegos τριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron 'medida', osea la medida de los triángulos. En este fascinante ámbito de las matemáticas vamos a descubrir una serie de relaciones, funciones y magnitudes que relacionan a los lados y ángulos de un triángulo.

Partamos de la definición de triángulo: un triángulo es el lugar geométrico que se obtiene de intersecar tres rectas no paralelas entre sí, obteniendo tres puntos llamados vértices, tres lados y tres ángulos internos, observados a continuación.

  1. Los lados de un triángulo se escriben en minúscula, con las mismas letras de los vértices opuestos. Los vértices de un triángulo se escriben con letras mayúsculas. Los ángulos de un triángulo se escriben igual que los vértices.


Como observamos en el triángulo ABC se denotan los ángulos internos por las letras griegas α y β, además de un ángulo de 90 grados que se marca con un cuadrado pequeño.

Detallemos en la figura el ángulo α, se define ángulo como la amplitud formada por un rayo inicial, en este caso la semirecta que parte de A y coincide con el eje X, y un rayo final, en nuestro caso formado por la semirecta con inicio en A y que pasa por el punto B.

Medida de los ángulos:

Para medir los ángulos en trigonometría, se emplean tres sistemas de unidades, el grado sexagesimal, más usado en la vida cotidiana, el radián que se utiliza más en matemáticas, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura, etc.

Radián: unidad angular natural en trigonometría, en una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.


En nuestro curso emplearemos los radianes y la medida sexagesimal.

Conversión de unidades de medidas de los ángulos.

La conversión de unidades de medidas de radianes a grados y viceversa es importante para poder comprender mejor la trigonometría y la medición de los ángulos en particular.

En el siguiente video se explica detalladamente a como proceder para la realizar la conversión de unidades radianes a grados y viceversa. (AQUI)

Triángulo rectángulo.

En el estudio avanzaremos considerando un triángulo rectángulo, este el aquel que tiene un ángulo interno de 90 grados, como podemos apreciar en la figura.




Observe el ángulo α, el lado opuesto a él ( al frente) se le llama cateto opuesto, al lado que es común al ángulo de 90 grados cateto adyacente, al lado mayor de un triángulo rectángulo se le llama hipotenusa. 

Reconocer estos elementos en cualquier triángulo rectángulo es básico para comprender lo que sigue.

Razones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo.

Si observamos los lados de un triángulo rectángulo podemos establecer 6 razones entre todos sus lados, como se puede apreciar en la figura. (respecto al ángulo alpha)



Como pudimos comprobar se pueden establecer 6 razones, las conocidas como razones trigonométricas las cuales son:

Seno de α, Coseno de α
Tangente de α, Cotangente de α
Secante de α, Cosecante de α

Pitágoras y razones trigonométricas, medidas de los triángulos.

El siguiente video muestra muy didácticamente el teorema de pitágoras, que establece las relaciones entre los lados de un triángulo, además se explica un método para aprender las razones trigonométricas y argumenta como obtener las razones trigonométricas con ejemplos concretos.

[[[ Ver video ]]]

Fuentes: Youtube®, es.wikipedia.org


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Conocemos al lado a, planteamos el seno de B como lado b (cateto opuesto) sobre lado a (hipotenusa), sustituimos el valor de a y despejamos el lado b, así:

Conocemos al lado a, planteamos el Coseno de B como lado c (cateto adyacente) sobre lado a (hipotenusa), sustituimos el valor de a y despejamos el lado c, así:


Ejemplo 2

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.




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SOLUCIÓN: 
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sen 215º = - sen 35º;  cos 215º = - cos 35º;  tg 215º = tg 35º
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SOLUCIÓN:

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